コピー用紙の数学

今日はじめて知ったのだが

 

コピー用紙の種類は以下のような規則から成り立っているらしい。

 

A1の大きさはA２の２倍、A2はA3の２倍、A3はA４の２倍・・・・・A(n)はA(n+1)の２倍

 

B版も同様

 

規則はこれだけでは終わらない。最も驚異的なのは、A(n)はA(n+1)を２枚並べたときの形と一致することである。例えば、A3は縦にしたA4を２枚並べたものと同じである。つまり両者は相似の関係にある。

 

これによって、印刷業者がコピー用紙を作る際の手間が大幅に省ける。なぜなら、A版もB版も一番大きな紙をたくさん作っておいて、それを半分づつに切っていくことでA4とかB5といった各規格を作ることができるからだ。

 

これを可能にするためにはコピー用紙の長方形の2辺がある比率でなければならない。その比率とは1:√2である。

 

たまには数学を、ということでなぜこの比率だと半分に折ると相似の長方形が得られるのか証明してみる。

 

最初の長方形の長い辺をA、短い辺をBとする

 

		A
B

 

A : B = √2 : 1のとする
辺Aから折り始めてn回折ったときのA, BをAn, Bnとする

n=2k（つまり偶数）のとき
An : Bn = √2(1/2)k : (1/2)k
     = √2 : 1

n=2k+1 （つまり奇数）のとき
AのほうがBよりも折られる回数が１回多いので
An : Bn = √2 (1/2)k+1 : (1/2)k
     = √2 / 2 : 1
     = 1 : √2

 
よって、くだんの長方形を偶数回折ったときも、奇数回折ったときも、２辺の比は√2 : 1で保たれる。

（証明終わり）

 

それにしても、コピー用紙の規格を最初に作った人ってすごいなあと思う。見習いたいものだ。

コメント 4

参考になりました。
by scot (2006-02-23 10:17) 

scotさん
ご参考になれば幸いです。
by しょちょう (2006-02-27 09:15) 

そう、こんなに便利な規格なのに、使っていない経済大国があります。アメリカのA4って日本やイギリスのそれと違うのですよ。日本でいうところのリーガル版って奴でしょうか、縦寸が短くて幅がちょっと広いの。なんででしょうね？
by NO NAME (2006-03-04 20:24) 

NO NAMEさん
なるほど、さすがアメリカ、rest of the worldがどうあろうとわが道を行くという強い意思の現れですね。まあでもいずれ我々の規格に統一されるでしょう。そのほうが合理的ですからね。
by しょちょう (2006-03-07 12:30)